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第22部分（第3页）

相反，我们已经习惯于将他的名字和许多东西联系在一起，而实际上那并非他一个人的成就。

他的出乎意外的重要性在于这样一个事实，即就我们的知识所及而言，他是第一个明确无误地表现出那种新的数字感的数学家。

相比较于那些总结数学发展的大师，如阿波罗尼乌斯和阿基米德，又如高斯、柯西（Cauchy）和黎曼，丢番图的工作，尤其是在形式语言方面，还是相当原始的。

这些原始的工作，直到今天，我们还常常用它来指称“晚期古典”

数学的衰微，现在，我们则应当学会理解和评价它，一如我们正在修正我们的蔑视“晚期古典”

艺术的观念并开始在那里认识新生的早期阿拉伯文化初试啼音一样。

类似地，利雪（Lisieux）的大主教尼古拉斯·奥里斯梅（1323～1382年）的数学也是古代的、原始的和处在摸索之中的：他是第一个灵活地运用坐标系来进行数学表述——尤其重要的是——并用它来描述等加速运动的西方人，这两种工作都以一种数字感为前提，这种数字感可能还模糊不清，但却是明确无误的，它完全是非古典的，也是非阿拉伯的。

但是，如果我们进一步地把丢番图和罗马藏品中的早期基督教石棺、把奥里斯梅和德国教堂中的哥特式雕塑放在一起思考，就能看到数学家和艺术家在某些方面是共同的，那就是，他们都处在各自文化的抽象理解的相同（亦即原始）水平。

在丢番图所处的世界和时代里，测体术的边界感——很久之前在阿基米德那里就已经达到了与大都市的才智相匹配的最完善精细的阶段——已经消失。

在那整个世界里，人们都是不清醒的，是饥渴的和神秘主义的，不再像阿提卡人那样洒脱自如；他们是植根于年轻的乡村土地的一群人，不像欧几里得和达朗贝尔是植根于大都市的都市人。

他们不再理解古典思想那深刻而复杂的形式，而他们自己的思想又是混乱的和新生的，和城市一样远未达到明晰和整洁的程度。

他们的文化还处在哥特式的状态，一如所有文化在年轻的时候一样，甚至如同古典文化在多立克早期阶段——我们现今对它的了解只能通过它的狄甫隆陶瓶——的情况一样。

只有到公元9至10世纪的巴格达，丢番图时代的年轻观念才经由具有柏拉图和高斯这种能力的成熟的大师而得以彻底完成。

八

笛卡儿的几何学出现于1637年，他的决定性的行为，不在于在传统的几何学领域引入了一种新的方法或观念（正如我们时常这么认为的），而在于他为一种新的数字观念引入了一个明确的概念，通过这一概念，使几何学摆脱了视觉上可认知的结构和一般的被度量或可度量的线条的束缚。

由于笛卡儿的几何学，对无穷的分析变成了事实。

严谨的、所谓笛卡儿式的坐标体系——一种半欧几里得式的、可理想地表达可度量的量的方法——其实早就为人所知（奥里斯梅就是见证），并一直被认为具有极度的重要性，而当我们对笛卡儿的思想穷根究底一番之后，便能发现，他所做的并不是完善了而是克服了那一体系。

其最后的历史代表就是笛卡儿同时代的费马。

取代具体的线和面的感觉要素——这是古典界限感的一个典型特征——代之以点的抽象的、空间的、非古典的要素，从此以后，“点”

被视为是一组排列在一起的纯粹数字。

源自古典文本和阿拉伯传统的量的观念和可感知的向度观念被摧毁殆尽，代之而起的是空间位置中可变的关系值。

一般来说，我们不认为这是几何学的替代品，仿佛从此之后，几何学只能是躲在古典传统身后的一个虚构的存在。

“几何学”

这个词有着一种不能随便扩展的阿波罗式的意义，而自笛卡儿时代开始，所谓“新几何学”

，则是由综合和分析两部分构成的，其中综合的工作是针对不再必然地是三维的某个空间（它其实是“点的集合”

）中点的位置而进行的，分析的工作则是通过空间中点的位置来定义数字。

这样以位置代替长度之后，便会随之出现一种纯空间的、而不再是物质性的广延概念。

对传统的、视觉上确定的几何学的这种摧毁，最明晰的例证，在我看来，莫过于把角函数——在印度数学中，它便是数字（我们的心智几乎无法理解印度人的这个词的含义）——转化成周期函数，由此而进入无穷的数字王国，在那里，角函数变成了级数（series），不再留有欧几里得几何图形的丝毫迹象。

在此数字王国的所有部分中，圆周率π，如同纳皮尔（Napier）的底数e一样，产生了各种各样的关系，而不复有传统的所谓几何、三角、代数等的分划，这些关系本质上既非算术的，亦非几何的，所以，不再有人梦想着实际地画出圆弧或以图来说明乘方。

九

相当于公元前540年左右的时候，古典心灵由毕达哥拉斯这样的人发明了它自身所独有的阿波罗式的数，亦即那种可以度量的量，西方心灵则由笛卡儿及其同时代的帕斯卡尔、费马、德扎古斯（Desargues）这些人而发明了一种数的概念，这一概念是狂热向往无限的浮士德倾向的产物。

数作为事物的物质性在场所固有的一种纯粹的量，与数现今作为一种纯粹的